В данном предложении запятые ставятся в соответствии с правилами пунктуации русского языка. Давайте рассмотрим каждую часть предложения:
"В одно ясное, холодное утро" — здесь запятая не ставится, так как это однородные определения, которые относятся к одному существительному "утро". Запятая ставится, если определения являются однородными и связаны бессоюзной связью. В данном случае определения "ясное" и "холодное" можно считать однородными, поэтому запятая после "ясное" ставится.
"Иван Петрович Берестов выехал прогуляться верхом" — в этой части предложения нет оснований для постановки запятых, так как нет однородных членов или вводных конструкций.
"на всякий случай взяв с собою три борзых" — это деепричастный оборот, который требует обособления запятыми. Следовательно, запятая должна стоять перед "взяв".
"взяв с собою три борзых, стремянного и несколько дворовых мальчишек с трещотками" — здесь перечисляются объекты, которые Иван Петрович взял с собой. "Три борзых", "стремянного" и "несколько дворовых мальчишек" являются однородными дополнениями, которые связаны союзом "и", следовательно, запятая перед "и" не ставится, но запятая перед "стремянного" нужна, так как это начало перечня однородных членов.
Таким образом, правильный вариант ответа: 1,3,4,5.