В сложносокращенных словах (аббревиатурах) согласование с глаголом происходит по роду и числу основного слова, которое подразумевается в аббревиатуре. Рассмотрим каждый из приведенных примеров:
1) ООН утвердила - в данном случае ООН расшифровывается как "Организация Объединённых Наций". Основное слово здесь "организация", которое имеет женский род. Поэтому правильное согласование: "ООН утвердила".
2) ГАИ утвердило - ГАИ расшифровывается как "Государственная автоинспекция". Основное слово "инспекция" имеет женский род. Следовательно, правильное согласование: "ГАИ утвердила".
3) ТЮЗ показал - ТЮЗ расшифровывается как "Театр юного зрителя". Основное слово "театр" имеет мужской род. Поэтому правильное согласование: "ТЮЗ показал".
4) ВВС показали - ВВС расшифровывается как "Военно-воздушные силы". В данном случае основное слово "силы" является существительным во множественном числе. Соответственно, правильное согласование: "ВВС показали".
Таким образом, ошибка в согласовании допущена во втором примере: "ГАИ утвердило" должно быть "ГАИ утвердила".