Правильно пишется "щурёнок". Это слово происходит от слова "щур", обозначающего некоторые виды грызунов, в частности, мелких грызунов семейства мышиных. Суффикс "-ёнок" в русском языке часто используется для обозначения маленького или молодого животного, таким образом "щурёнок" означает молодого или маленького щура.
Слово "чурёнок" не существует в русском языке и является ошибочным.