Чтобы определить падеж существительных, нужно обратить внимание на контекст, предлоги и окончания слов. Рассмотрим каждое из приведённых существительных:
ДОБЫЧЕЙ - это существительное стоит в творительном падеже. Окончание "-ей" указывает на данный падеж. Творительный падеж отвечает на вопросы "кем?", "чем?". В предложении "Красуется кошка за ДОБЫЧЕЙ осторожно" слово "добычей" указывает на средство или объект, с которым совершается действие (красуется за чем? за добычей).
ЛАПКАХ - это существительное в предложном падеже. Окончание "-ах" и предлог "на" указывают на предложный падеж. Предложный падеж отвечает на вопросы "о ком?", "о чем?", "где?". В данном случае "на лапках" обозначает местоположение (где? на лапках).
ХВОСТ - это существительное в именительном падеже. Именительный падеж отвечает на вопросы "кто?", "что?". В предложении "Длинный гибкий хвост помогает ей приземлиться на лапы" слово "хвост" является подлежащим, т.е. основным действующим лицом в предложении (что помогает? хвост).
МЫШЕЙ - это существительное в родительном падеже во множественном числе. Окончание "-ей" характерно для родительного падежа множественного числа. Родительный падеж отвечает на вопросы "кого?", "чего?". В предложении "Ловит она мышей и крыс" слово "мышей" показывает объект действия (ловит кого? мышей).
Таким образом, существительные в данном тексте стоят в следующих падежах: добычей — творительный падеж, лапках — предложный падеж, хвост — именительный падеж, мышей — родительный падеж.