В русском языке частица "не" с деепричастиями в большинстве случаев пишется раздельно. Деепричастия, как правило, требуют раздельного написания с "не", за исключением тех случаев, когда образуется новое слово с противоположным значением, или если деепричастие без "не" не употребляется.
Рассмотрим варианты:
A) (не) годуя. Слово "годуя" без "не" не употребляется. Следовательно, "негодуя" пишется слитно.
B) (не) заметив. Слово "заметив" без "не" употребляется. Следовательно, "не заметив" пишется раздельно.
C) (не) выполнив. Слово "выполнив" без "не" употребляется. Следовательно, "не выполнив" пишется раздельно.
D) (не) оглянувшись. Слово "оглянувшись" без "не" употребляется. Следовательно, "не оглянувшись" пишется раздельно.
E) (не) помирившись. Слово "помирившись" без "не" употребляется. Следовательно, "не помирившись" пишется раздельно.
Таким образом, правильный ответ — A) (не) годуя, где "негодуя" пишется слитно.